Aljabar Linear Contoh

$[\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}]$

Langkah 1

Temukan nilai eigennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Gunakan rumus untuk menentukan persamaan karakteristik $p (λ)$ .

$p (λ) = determinan (A - λ I_{2})$

Langkah 1.2

Matriks satuan atau matriks satuan dengan ordo $2$ adalah matriks persegi $2 \times 2$ dengan bilangan satu di diagonal utama dan nol di elemen lainnya.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 1.3

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam $p (λ) = determinan (A - λ I_{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $[\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}]$ untuk $A$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] - λ I_{2})$

Langkah 1.3.2

Substitusikan $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ untuk $I_{2}$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Kalikan $- λ$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.2

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.2.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.2.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.3

Kalikan $- λ \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.3.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.3.2

Kalikan $0$ dengan $λ$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Langkah 1.4.1.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$p (λ) = determinan ([\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Langkah 1.4.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ - 1 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Langkah 1.4.3.2

Tambahkan $- 1$ dan $0$ .

$p (λ) = determinan [\begin{array}{c} 5 - λ & 2 \\ - 1 & 3 - λ \end{array}]$

Langkah 1.5

Find the determinant.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Determinan dari matriks $2 \times 2$ dapat dicari menggunakan rumus $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (5 - λ) (3 - λ) - (- 1 \cdot 2)$

Langkah 1.5.2

Sederhanakan determinannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.1

Perluas $(5 - λ) (3 - λ)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 5 (3 - λ) - λ (3 - λ) - (- 1 \cdot 2)$

Langkah 1.5.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 5 \cdot 3 + 5 (- λ) - λ (3 - λ) - (- 1 \cdot 2)$

Langkah 1.5.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$p (λ) = 5 \cdot 3 + 5 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 2)$

Langkah 1.5.2.1.2

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.2.1.1

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$p (λ) = 15 + 5 (- λ) - λ \cdot 3 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 2)$

Langkah 1.5.2.1.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$p (λ) = 15 - 5 λ - λ \cdot 3 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 2)$

Langkah 1.5.2.1.2.1.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = 15 - 5 λ - 3 λ - λ (- λ) - (- 1 \cdot 2)$

Langkah 1.5.2.1.2.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$p (λ) = 15 - 5 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 2)$

Langkah 1.5.2.1.2.1.5

Kalikan $λ$ dengan $λ$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.2.1.5.1

Pindahkan $λ$ .

$p (λ) = 15 - 5 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 2)$

Langkah 1.5.2.1.2.1.5.2

Kalikan $λ$ dengan $λ$ .

$p (λ) = 15 - 5 λ - 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 2)$

Langkah 1.5.2.1.2.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$p (λ) = 15 - 5 λ - 3 λ + 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 2)$

Langkah 1.5.2.1.2.1.7

Kalikan $λ^{2}$ dengan $1$ .

$p (λ) = 15 - 5 λ - 3 λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 2)$

Langkah 1.5.2.1.2.2

Kurangi $3 λ$ dengan $- 5 λ$ .

$p (λ) = 15 - 8 λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 2)$

Langkah 1.5.2.1.3

Kalikan $- (- 1 \cdot 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$p (λ) = 15 - 8 λ + λ^{2} - - 2$

Langkah 1.5.2.1.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$p (λ) = 15 - 8 λ + λ^{2} + 2$

Langkah 1.5.2.2

Tambahkan $15$ dan $2$ .

$p (λ) = - 8 λ + λ^{2} + 17$

Langkah 1.5.2.3

Susun kembali $- 8 λ$ dan $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 8 λ + 17$

Langkah 1.6

Atur polinomial karakteristiknya agar sama dengan $0$ untuk menemukan nilai eigen $λ$ .

$λ^{2} - 8 λ + 17 = 0$

Langkah 1.7

Selesaikan $λ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 1.7.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = - 8$ , dan $c = 17$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $λ$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 17)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1.1

Naikkan $- 8$ menjadi pangkat $2$ .

$λ = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.7.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 17$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$λ = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.7.3.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $17$ .

$λ = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 68}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.7.3.1.3

Kurangi $68$ dengan $64$ .

$λ = \frac{8 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.7.3.1.4

Tulis kembali $- 4$ sebagai $- 1 (4)$ .

$λ = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.7.3.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (4)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$λ = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.7.3.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$λ = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.7.3.1.7

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$λ = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.7.3.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$λ = \frac{8 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.7.3.1.9

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $i$ .

$λ = \frac{8 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.7.3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$λ = \frac{8 \pm 2 i}{2}$

Langkah 1.7.3.3

Sederhanakan $\frac{8 \pm 2 i}{2}$ .

$λ = 4 \pm i$

Langkah 1.7.4

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$λ = 4 + i, 4 - i$

Langkah 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Langkah 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 4 + i$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumusnya.

$N ([\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] - (4 + i) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] + (- 1 \cdot 4 - i) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] + (- 4 - i) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.3

Kalikan $- 4 - i$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} (- 4 - i) \cdot 1 & (- 4 - i) \cdot 0 \\ (- 4 - i) \cdot 0 & (- 4 - i) \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.4

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.4.1

Kalikan $- 4 - i$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 - i & (- 4 - i) \cdot 0 \\ (- 4 - i) \cdot 0 & (- 4 - i) \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.4.2

Kalikan $- 4 - i$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 - i & 0 \\ (- 4 - i) \cdot 0 & (- 4 - i) \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.4.3

Kalikan $- 4 - i$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 - i & 0 \\ 0 & (- 4 - i) \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 3.2.1.4.4

Kalikan $- 4 - i$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 - i & 0 \\ 0 & - 4 - i \end{array}]$

Langkah 3.2.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$[\begin{array}{c} 5 - 4 - i & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 3 - 4 - i \end{array}]$

Langkah 3.2.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Kurangi $4$ dengan $5$ .

$[\begin{array}{c} 1 - i & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 3 - 4 - i \end{array}]$

Langkah 3.2.3.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - i & 2 \\ - 1 + 0 & 3 - 4 - i \end{array}]$

Langkah 3.2.3.3

Tambahkan $- 1$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - i & 2 \\ - 1 & 3 - 4 - i \end{array}]$

Langkah 3.2.3.4

Kurangi $4$ dengan $3$ .

$[\begin{array}{c} 1 - i & 2 \\ - 1 & - 1 - i \end{array}]$

Langkah 3.3

Find the null space when $λ = 4 + i$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - i & 2 & 0 \\ - 1 & - 1 - i & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{1 - i}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{1 - i}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 - i}{1 - i} & \frac{2}{1 - i} & \frac{0}{1 - i} \\ - 1 & - 1 - i & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.1.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 + i & 0 \\ - 1 & - 1 - i & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 + i & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & - 1 - i + 1 + i & 0 + 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.2.2.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 + i & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + (1 + i) y = 0$

$0 = 0$

Langkah 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - y - i y \\ y \end{array}]$

Langkah 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

Langkah 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Langkah 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

Langkah 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 4 - i$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumusnya.

$N ([\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] - (4 - i) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Langkah 4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] + (- 1 \cdot 4 - - i) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] + (- 4 - - i) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] + (- 4 + 1 i) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.4

Kalikan $i$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] + (- 4 + i) [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.5

Kalikan $- 4 + i$ dengan setiap elemen di dalam matriks tersebut.

$[\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} (- 4 + i) \cdot 1 & (- 4 + i) \cdot 0 \\ (- 4 + i) \cdot 0 & (- 4 + i) \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.6

Sederhanakan setiap elemen dalam matriks.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.6.1

Kalikan $- 4 + i$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 + i & (- 4 + i) \cdot 0 \\ (- 4 + i) \cdot 0 & (- 4 + i) \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.6.2

Kalikan $- 4 + i$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 + i & 0 \\ (- 4 + i) \cdot 0 & (- 4 + i) \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.6.3

Kalikan $- 4 + i$ dengan $0$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 + i & 0 \\ 0 & (- 4 + i) \cdot 1 \end{array}]$

Langkah 4.2.1.6.4

Kalikan $- 4 + i$ dengan $1$ .

$[\begin{array}{c} 5 & 2 \\ - 1 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 4 + i & 0 \\ 0 & - 4 + i \end{array}]$

Langkah 4.2.2

Tambahkan elemen yang seletak.

$[\begin{array}{c} 5 - 4 + i & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 3 - 4 + i \end{array}]$

Langkah 4.2.3

Simplify each element.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Kurangi $4$ dengan $5$ .

$[\begin{array}{c} 1 + i & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & 3 - 4 + i \end{array}]$

Langkah 4.2.3.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + i & 2 \\ - 1 + 0 & 3 - 4 + i \end{array}]$

Langkah 4.2.3.3

Tambahkan $- 1$ dan $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + i & 2 \\ - 1 & 3 - 4 + i \end{array}]$

Langkah 4.2.3.4

Kurangi $4$ dengan $3$ .

$[\begin{array}{c} 1 + i & 2 \\ - 1 & - 1 + i \end{array}]$

Langkah 4.3

Find the null space when $λ = 4 - i$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + i & 2 & 0 \\ - 1 & - 1 + i & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{1 + i}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{1 + i}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 + i}{1 + i} & \frac{2}{1 + i} & \frac{0}{1 + i} \\ - 1 & - 1 + i & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.1.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 - i & 0 \\ - 1 & - 1 + i & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 - i & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & - 1 + i + 1 - i & 0 + 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.2.2.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 - i & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Langkah 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + (1 - i) y = 0$

$0 = 0$

Langkah 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - y + i y \\ y \end{array}]$

Langkah 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

Langkah 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Langkah 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

Langkah 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$